수학적 사고란 정의 / 분석 {분해 - 비교} / 체계화 { 구조화 - 모델} 를 따른다. 여기서 정의의 부분을 서술하자면, 정의란 무언가를 확실하게 구분짓고 명확하게 정체를 밝혀내는 것을 의미한다. 간단하게 XX는 OO이다 와 같이 특정한 것은 언어로써 규정하는 행위를 의미한다.
예를 들어 수학적 사고란 무엇인가? 라는 질문이 존재한다면 먼저 수학적 사고 방식이 무엇인지에 대한 정의 부터 시작해야 한다는 말이다. 이때 정의는 각자마다 다를 수 있지만 어쨋든 확실하고 명백히 규정해야 한다는 것이다.
특히 정의가 달라지면 결과도 달라지는 까닭은 곧 정의내린 것인 근본이 되기 때문이다. 이 근본을 토대로 연구하고 확장하고 하게 되는 것이다. 가령 어제부터 삼각형의 대한 정의가 바뀌었다고 하자. 그렇다면 그 전 삼각형의 대한 정의로 시작된 모든 연구를 뒤로 한채 새롭게 다시 연굴를 진행해야 한다는 것이다.
정의를 하면서 그러한 것 과 그렇지 않은 것 그리고 옳은 것 과 옳지 않은 것 또한 포함 된 것 과 포함되지 않은 것 등 명확하게 가려해야만 한다. 예를 들어 여성 모임이 존재한다고 했을때 여성 모임이란 다수의 여성이 모임을 갖는 행태를 의미한다. 이때 다음과 같은 것들은 포함되지 않는다. 남성, 한명, 프레젠테이션, 취침, 장기간 과 같은 것들 말이다.
즉 옳지 않은 것이란 이미 정의한 것을 훼손하거나 정의 대상의 정체를 명확하게 하는 것이 아닌 모호하게 만들어 버려 정체를 훼손하는 것들이다. 이렇게 가려냄으로 더욱 명확한 정의를 내릴 수 있게 된다.
이러한 정의는 우리의 삶 속에서도 일어난다. 휴일이란 정의를 일 하지 않는 날 로 내가 정의를 내렸다면 휴일날 무엇도 하기 싫을 것이다. 왜냐면 집안일도 일에 포함되어있게 될 것이고 가정도 일로 포함될 수도 있다.
만약 이러한 정의를 바꾸어 휴일이란 직장으로 벗어나 가족과 함께 하는 날 이라고 정의를 바꾼다면 앞선 사례보다 더 가정에 충실하게 될 것이다. 이러한 것이 정의고, 이렇게 정의를 바꾸는 것을 근본부터 재검토하는 것 정의를 바꾼다 라고 하는 것이다.
분해란 잘게 분해함으로써 그 구조를 밝혀 내는 행위다. 비지니스에서 매출액 = 단가 x 손님수 x 구매율 등의 형식으로 분해해서 분석하는 경우가 있는데 이는 훌륭한 수학적 사고다.
만약 어떤 곡선의 길이를 구하는 문제가 있다고 하자. 이 길이를 구하는 방식을 어떻게 될까? 이때 분해하기를 쓰면 된다. 각 곡선을 아주 짧은 직선의 연결형태라고 하면 그 짧은 직선 길이 x 직선길이 수를 하면 곡선의 길이가 나올 것이다.
면적도 마찬가지이다. 아주 작은 직사각형의 모임이라고 생각하면 그 도형의 총합을 구 할 수 있다. 이것은 고등학교 때 배우는 미문과 적분의 개념일을 알아차렸을 것이다. 여기서 말하고 싶은 것은 인수분해든 도형이든 문제를 해결하기 위해 잘게 분해하는 접근법을 말하고 싶은 것이다. 결과적으로 수학은 잘게 분해하면 모르던 것을 알 수 있다 라는 사실이란 것이다.
우리는 이번에도 정의를 시작할 것이다. 분석이란 무엇인가? 그것의 정의는 문제 해결을 목적으로 생각의 대상을 명료하게 만드는 행위 라고 할 수 있다.